ルクセンの独り言。

音楽とアイドルとテニスとラーメンと数学が好きなオタクの独り言。

『むてきのうた』は「無敵の歌」(3)

前回(『むてきのうた』は「無敵の歌」(2) - ルクセンの独り言。)は2種類の4度について複素数平面で考察しました。
これについて少し追加があるので今回はそれを紹介したいと思います。
新しい発見や後に繋がる考察はないです。
ただ単にネイピア数を登場させたかっただけのブログなので読み飛ばして頂いても構いません。

 

オイラーの公式

まずオイラーの公式の話を大雑把にしていきます。

{e}^xマクローリン展開すると
{{e}^x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots
(いやぁ…この時点で綺麗ですよねえ、ネイピア数…)
x=i\theta (\theta\in\mathbb{R})を代入して
{e}^{i\theta}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{{(i\theta)}^2}{2!}+\frac{{(i\theta)}^3}{3!}+\frac{{(i\theta)}^4}{4!}+\frac{{(i\theta)}^5}{5!}+\cdots
=1+\frac{i\theta}{1!}-\frac{{\theta}^2}{2!}-\frac{i{\theta}^3}{3!}+\frac{{\theta}^4}{4!}+\frac{i{\theta}^5}{5!}-\cdots
=(1-\frac{{\theta}^2}{2!}+\frac{{\theta}^4}{4!}-\cdots)+i(\frac{\theta}{1!}-\frac{{\theta}^3}{3!}+\frac{{\theta}^5}{5!}-\cdots)
ここで、\sin{x},\cos{x}をそれぞれマクローリン展開すると
\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots
であるから
{e}^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
が成り立ちます。これがオイラーの公式です。
今回は使いませんが、特に\theta=\piのとき
{e}^{i\pi}+1=0
が成り立ちます(オイラーの等式)。
博士の愛した数式です。
ネイピア数虚数単位、円周率を繋ぐ何とも美しい等式です。

 

◆例のコード進行をネイピア数

ということで、オイラーの公式を使えば複素数ネイピア数を用いて表せそうです。
あらかじめ断っておくと、この作業は恐らく今後全く意味をなさないと思います。
ですが、ただ単にネイピア数が好きなのでやってみたいと思います。

前回のブログの数列\{z_n\}において、z_n極形式で表すと
{z_1}=\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi,
{z_n}={(\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi)}^n\cdot(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})[n=2,3,\cdots,7]
ド・モアブルの定理から
{z_n}={(\cos\frac{5n}{6}\pi+i\sin\frac{5n}{6}\pi)}\cdot(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})[n=2,3,\cdots,7]
したがって、オイラーの公式から\{z_n\}ネイピア数eを用いて
{z_1}={e}^{i\frac{5}{6}\pi},
{z_n}={e}^{i\frac{5n+1}{6}\pi}[n=2,3,\cdots,7]
と表されます。
ネイピア数虚数単位、円周率、アイドルを繋ぐ非常に美しい式になりましたね。
ちなみに、恐らくアイドルにネイピア数を関連付けたのは世界で僕が初なので、僕は来年あたりフィールズ賞を貰うと思います。

 


はい、という訳で今回はこんなところで。
次回は「完璧じゃないからこその美しさ」についてお話ししたいと思います。
それではまた、ごきげんよう